E資格対策 その1 固有値

※数式が正常に表示されていないことに気づきました
 プレビューだと表示できるのに…
⇒原因調査中です
⇒ 解決しました!

はじめに

E資格の勉強をするにあたって、
勉強した内容をまとめていきたいと思います

単純な解法だけでなく、
便利な別解も考えていきたいと思います(特に数学)

また、基本的に過去問等が出回っていないため、
ネット上に落ちている情報を元に問題を予想し、
勉強内容をまとめていきたいと思います

問題1 固有値

問題

こちらから引用させて頂きました
https://avilen.co.jp/service/test_e_certification/

解答

$$
\begin{array}{c}
det(A-\lambda E) = 0\\
\left|
\begin{array}{ccc}
5-\lambda & 3 \\
4 & 9-\lambda \\
\end{array}
\right| = 0 \\
(5-\lambda)(9-\lambda)-3\times4 = 0 \\
45-14\lambda+\lambda^2 - 12 = 0 \\
\lambda^2 - 14\lambda + 33 = 0 \\
(\lambda - 11)(\lambda - 3) = 0 \\
\lambda = 11, 3
\end{array}
$$

なので、回答は Dの「11」 ですね

このような2×2行列の場合は、正直素直に解く方が早そうです

固有値については、様々なところで解説がしてありますし、
頻出問題らしいので確実に頭に入れておいた方が良さそうですね

$$
\begin{array}{c}
A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}
\end{array}
$$

を満たす固有値λと・固有ベクトルxのことですね
行列Aをかけてもλ倍されるだけという関係があるベクトルと係数になります

問題2

問題

固有値に関する問題3×3

$$
\begin{array}{c}
A =
\left[
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -1 \\
2 & 2 & 2 \\
2 & 1 & 2 \\
\end{array}
\right]\\
\end{array}
$$

の固有値を以下から選べ
A. 2
B. 3
C. 5
D. 9

という問題を考えます

問題はこちらから抜粋させて頂きました
https://www.geisya.or.jp/~mwm48961/linear_algebra/eigenvalue2.htm

解答

$$
\begin{array}{c}
det(A-\lambda E) = 0 \\
\lambda^3 - 5 \lambda^2 + 8 \lambda -4 = 0
\end{array}
$$

3×3の行列式計算はここでは省きます
さて、ここから真面目に解くと因数定理を使って、
±1、±2、±4の中からλに代入して左辺が0になるものを探し、
さらに因数分解をしていくわけですが

ただ、上記8通りと、選択肢4通りを照らしわせると、
この時点で答えが A.2 になることが分かりそうですね
(まあ今回の問題だとそれほど変わらないかも知れませんが…)

解答群から逆算する、というのは、
センター試験(今は共通テストか)の時代から変わりませんね

なぜ固有値問題が頻出なのか?

機械学習のそれは、やはり「主成分分析」を始めとした、機械学習でよくお世話になる手法の基礎になっているからではないかなと思います

主成分分析(PCA)は次元圧縮でよく利用される手法ですが、
共分散行列の固有値問題になることも有名です

機械「力学」でも大事

ここからは完全にメカ屋視点での蛇足ですが
機械力学においても固有値はとても大事です

たとえば、質量mの物体がばねと減衰をもって振動する場合
自由振動モデル

参考:メカ屋みんな大好き小野測器
https://www.onosokki.co.jp/HP-WK/c_support/newreport/dampingfactor/dampingfactor_2.htm

このとき、振動系の固有値を求めることで、
この物体がどういう振動をするのかを求めることができるんですよね

実際の物体に応用すると、「モード解析」がそれに当たります
簡単に言うと、その物体がどのような周波数で、どのように振動するかを解析することができます

モード解析の参考:
http://jikosoft.com/cae/vibration_ana03.html
モード1
固有モード
板がクネクネと踊っているのが面白いですね笑
(モード解析は物理的な主成分分析ということもできます)

機械にとって、振動は破損の要因となるため大敵です
例えば、その物体の「固有値」を知っておくと、
その固有振動による共振を避けるような設計をすることができます

ということで、固有値と固有ベクトルというのは、
それがデータにせよ実物にせよ、
「その系の特徴を表す数値」なのかなーと思ってます

(蛇足が一番長くなった気がする…)

きゅうこん

きゅうこん

元メカ設計者、現なんちゃってAIエンジニア。実験データを分析しているうちにプログラミングとAIのスキルを習得(?)職業何ですか?と聞かれたときに何と答えるべきかを考える日々。 Qiita: https://qiita.com/kamome885

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